在此篇文章中主要写的是一些求导公式,几乎涵盖了大部分使用场景
这里是常数函数的求导
若 \(y = C\)（\(C\)为常数），则 \(y^{\prime}=0\)，代码如下： \[ y = C \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=0 \]这里是幂函数的求导
若 \(y = x^{n}\)（\(n\)为实数），则 \(y^{\prime}=nx^{n - 1}\)， \[ y = x^{n} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=nx^{n - 1} \]这里是指数函数的求导
1. 若 \(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），则 \(y^{\prime}=a^{x}\ln a\)， \[ y = a^{x} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=a^{x}\ln a \] 2. 特别地，当 \(y = e^{x}\)时， \(y^{\prime}=e^{x}\)， \[ y = e^{x} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=e^{x} \]这里是对数函数的求导
1. 若 \(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1,x>0\)），则 \(y^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}\)， \[ y=\log_{a}x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln a} \] 2. 当 \(y = \ln x\)（即 \(y=\log_{e}x\)）时， \(y^{\prime}=\frac{1}{x}\)， \[ y = \ln x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} \]这里是三角函数的求导
1. 若 \(y=\sin x\)，则 \(y^{\prime}=\cos x\)， \[ y=\sin x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\cos x \] 2. 若 \(y=\cos x\)，则 \(y^{\prime}=-\sin x\)， \[ y=\cos x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=-\sin x \] 3. 若 \(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，则 \(y^{\prime}=\sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\)， \[ y=\tan x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos^{2}x} \] 4. 若 \(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，则 \(y^{\prime}=-\csc^{2}x=-\frac{1}{\sin^{2}x}\)， \[ y=\cot x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin^{2}x} \] 5. 若 \(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\)，则 \(y^{\prime}=\sec x\tan x\)， \[ y=\sec x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\sec x\tan x \] 6. 若 \(y=\csc x=\frac{1}{\sin x}\)，则 \(y^{\prime}=-\csc x\cot x\)， \[ y=\csc x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=-\csc x\cot x \]这里是反三角函数的求导
1. 若 \(y = \arcsin x\)，则 \(y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)， \[ y=\arcsin x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \] 2. 若 \(y = \arccos x\)，则 \(y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)， \[ y=\arccos x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \] 3. 若 \(y=\arctan x\)，则 \(y^{\prime}=\frac{1}{1 + x^{2}}\)， \[ y=\arctan x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1 + x^{2}} \] 4. 若 \(y=\text{arccot} x\)，则 \(y^{\prime}=-\frac{1}{1 + x^{2}}\)， \[ y=\text{arccot} x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1 + x^{2}} \]以下是双曲函数部分
双曲正弦函数： 定义： \[ \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \] \[ (\sinh x)^\prime = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh x \] 双曲余弦函数： 定义： \[ \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \] \[ (\cosh x)^\prime = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} = \sinh x \] 双曲正切函数： 定义： \[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \] \[ (\tanh x)^\prime = \frac{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}{\cosh^{2}x} = \frac{1}{\cosh^{2}x} = \text{sech}^{2}x \] 双曲余切函数： 定义： \[ \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \quad (x \neq 0) \] \[ (\coth x)^\prime = \frac{\sinh x \cdot \sinh x - \cosh x \cdot \cosh x}{\sinh^{2}x} = -\frac{1}{\sinh^{2}x} = -\text{csch}^{2}x \quad (x \neq 0) \] 双曲正割函数： 定义： \[ \text{sech} x = \frac{1}{\cosh x} \] \[ (\text{sech} x)^\prime = -\frac{\sinh x}{\cosh^{2}x} = -\text{sech} x \cdot \tanh x \] 双曲余割函数： 定义： \[ \text{csch} x = \frac{1}{\sinh x} \quad (x \neq 0) \] \[ (\text{csch} x)^\prime = -\frac{\cosh x}{\sinh^{2}x} = -\text{csch} x \cdot \coth x \quad (x \neq 0) \]以及最后的复合函数求导公式
则 \(y^{\prime}=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)\)， \[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \text{ 即 } y^{\prime}=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x) \]