Mathematical Formulas Part1
欢迎来到数学公式的合集处，在这里你可以找到许许多多你可能需要用得到的数学公式，我将一一提供给你
在Part1中，这里是最基本的一元二次至一元四次方程的求根的方法
·首先是最最熟悉的一元二次方程求根公式，在此处一元一次方程不考虑，过于简单，无需记忆
一元二次方程的一般形式为\(ax^{2} + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），其求根公式如下：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
\]
·其次是不那么熟悉的一元三次方程的求根公式：
一元三次方程的一般形式为\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a \neq 0\)），通过变换可化为\(y^{3}+py + q = 0\)的形式，相关参数为：
\[
p = \frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}, \quad q = \frac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}
\]
令\(\Delta = (\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}\)，当\(\Delta > 0\)时，求根公式如下：
\[
y_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}
\]
虚根为：
\[
y_{2,3}=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\omega^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}, \quad y_{3,2}=\omega^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}
\]
其中\(\omega = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\omega^{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\)（\(i\)为虚数单位）。
·最后是很少用得到的一元四次方求根公式：
一元四次方程的一般形式为\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a \neq 0\)），通过变量代换\(y = x + \frac{b}{4a}\)消去三次项后方程化为：
\[
y^{4}+py^{2}+qy + r = 0
\]
其中各系数分别为：
\[
\begin{align*}
p&=\frac{8ac - 3b^{2}}{8a^{2}}\\
q&=\frac{b^{3} - 4abc + 8a^{2}d}{8a^{3}}\\
r&=\frac{-3b^{4}+256a^{3}e - 64a^{2}bd + 16ab^{2}c}{256a^{4}}
\end{align*}
\]
引入辅助变量\(z\)后，方程变为：
\[
(y^{2}+\frac{p}{2}+z)^{2}=(2z - \frac{p}{2})y^{2}-qy +(z^{2}+rz+\frac{p^{2}}{4})
\]
为使右边成为完全平方式，其判别式\(\Delta\)需满足：
\[
\Delta = q^{2}-4(2z - \frac{p}{2})(z^{2}+rz+\frac{p^{2}}{4}) = 0
\]
设\(\Delta = 0\)这个关于\(z\)的三次方程的一个根为\(z_{0}\)，将\(z = z_{0}\)代入可得：
\[
(y^{2}+\frac{p}{2}+z_{0})^{2}=(2z_{0} - \frac{p}{2})y^{2}-qy +(z_{0}^{2}+rz_{0}+\frac{p^{2}}{4})
\]
对两边开平方可得：
\[
y^{2}+\frac{p}{2}+z_{0}=\pm\sqrt{(2z_{0} - \frac{p}{2})y^{2}-qy +(z_{0}^{2}+rz_{0}+\frac{p^{2}}{4})}
\]
整理为关于\(y^{2}\)的一元二次方程形式：
\[
y^{2}\pm\sqrt{2z_{0} - \frac{p}{2}}y + (\frac{p}{2}+z_{0}\mp\sqrt{z_{0}^{2}+rz_{0}+\frac{p^{2}}{4}}) = 0
\]
再利用一元二次方程求根公式求解\(y\)，进而通过\(x = y - \frac{b}{4a}\)得到原一元四次方程的根\(x\)。